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“上帝笑了99次”

这个悖论揭示了一个现实:今天人们对“概率”的理解仍然存在一些“不清楚和不清楚”的地方。

经典概率的错误

一般来说，人们认为“概率”是对事件“可能性”的定量描述。这句话听起来不错，但是什么是“可能性”？如何衡量“可能性”？

在拉普拉斯看来，世界上没有“可能性”这回事。一切都是“确定的”。要么发生，要么不发生。没有“可能”的情况——你认为“可能”的原因只是因为“你不知道”。因此，在经典概率论中，“可能性”是对一个事物“无知程度”的定量描述。

例如，我们都知道，一旦一枚硬币被扔出，就会有某一面朝上，而最终的状态是许多因素(如投掷角度、力、气流等)的结果。)，这在理论上是可以计算的，所以这是一个确定性事件。但在我们抛出之前，这一切都没有发生，也没有“证据表明一方更有可能崛起”。因此，我们可以说，对于要投掷的硬币，面朝上的概率是相同的。

根据经典概率，如果我们总是处于对一个问题的所有可能性“完全无知”的状态，或者如果我们没有任何一种可能性的“比其他可能性更多的证据”，那么我们可以说每个可能性的概率是相同的。

这听起来很自相矛盾，但却引出了另一个矛盾的故事:骰子工厂。

假设有一家专门生产骰子的工厂。这家工厂专门生产骰子。每个立方体骰子的“边长”从0到1随机产生。其他更多的病例完全未知。问题来了:这个工厂随机骰子的边长小于1/2的概率是多少？

根据“经典概率”，显然在0和1边长之间，我们没有“证据”来预测“即将到来的”骰子的边长“某个长度更有可能，或者某个长度不太可能”，不管最终长度是多少。我们总是“同样完全无知”于任何规模。

因此，对于边长小于1/2、边长大于1/2的骰子，我们“同样完全无知”，所以概率相等，答案是50%，这是很容易理解的。

继续问第二个问题:随机骰子的“一边”的面积小于1/4的概率是多少？骰子一面的最大面积是1。根据以前的想法，我们没有更多的“证据”来证明0到1之间的任何可能的面积值，因此面积小于1/4的概率是25%，这是可以理解的。

继续问:随机骰子的“体积”小于1/8的概率是多少？工厂里最大的骰子数量是1，但是我们没有更多的“证据”来预测任何大小的骰子的出现，所以根据“完全无知”的原则，答案显然是12.5%。

现在，让我们总结这三个“独立”的问题:

1)边长小于1/2的骰子概率为50%

2)表面积小于1/4的骰子的概率为25%

3)出现体积小于1/8的骰子，概率为12.5%

奇怪的事情发生了:这三个问题实际上是同一个问题，边长小于1/2的骰子=面积小于1/4的骰子=体积小于1/8的骰子。同一事件有不同的概率。

也许你会说，这件事也很容易解释。只要绘制一个函数图，并且“边长”作为x轴均匀分布，那么面积和体积的变化就是一条曲线。换句话说，如果边长的变化是均匀的，那么面积和体积的变化在坐标轴上不是一条直线，所以面积和体积的概率变化是不均匀的。换句话说，如果“边长大于0.5且小于0.5的概率是相同的”，那么在这个前提下，就不能说“体积小于0.5且大于0.5的概率是相同的”，自然就不能导致2)和3)的情况。

你的分析是对的——但是如果你回忆起“经典概率”的“完全无知”原则，我们也不知道“哪种情况(边长或面积或体积)在取出骰子之前有一致的概率变化”——我们对这些情况的“无知程度”也是完全相同的，那么根据经典概率理论，计算出的概率应该是相同的，但实际上存在矛盾。

这种错误使人们对“经典概率”感到有些不安——既然经典概率表达了人们的“无知程度”，那么面对像工厂骰子这样的事件，每一种情况都是“完全无知”的，概率应该是一样的，而一个事件的“概率”只能由“人们”的无知程度来判断，所以概率太“主观”。

主观概率

概率可以解释为“主观的”，但它不是基于“先验无知”——贝叶斯概率。

与经典概率的“无知原则”不同，贝叶斯概率认为事件的概率决定是基于人们对事件可能性的“主观置信度”的积累。

例如，当我们扔硬币时，我们可以首先问自己硬币朝上的可能性有多大——尽可能多，甚至我一开始就认为“正面”不太可能出现，因为我(不可靠)“视觉上”认为硬币的正面图案更复杂(所以它会更重)。考虑到重力会使较重的一面向下冲，我对前方方向没有“信心”，所以我猜想前方方向的概率只有10%。

所以我的第一次投掷是积极的，所以我的信心稍高，达到10.2%。第二次，它仍然是积极的，我的信心水平扩大到11%...我只是不停地往下扔。随着次数的增加，我的正向信心指数也在之前的基础上做了相应的调整。当然，如果负向是向上的，我的信心指数仍然会下降，所以我不断调整我的信心。最后，只要我投掷足够的次数，例如，5000次，我基本上可以断言正向上的概率是50%，现在我下一次投掷的信心指数稳定在50%。

这种对概率的主观解释很好地解决了经典概率的一些逻辑错误，例如猜测工厂的骰子。我们不需要急于下结论，“因为我们对所有情况都一样无知”。我们可以一次估计一个概率，然后再估计几次，最后接近真相的概率就会浮出水面。

这种不断更新和修正概率的方法在统计学上也取得了巨大的成功，并直接影响到今天的深入学习和人工智能的发展。它是当代人工智能的核心方法之一...

但是话说回来，尽管这个概率的定义更有意义，我们到底是不是在讨论一个“数学”问题？数学不应该是一门确定性的科学吗？如果一个事件的概率根据每个人的主观性而变化(尽管它可以无限接近真理)，那么公理系统和整个概率的计算方法的意义是什么？不是每个人都有自己的概率系统吗？无论如何，这是要尝试更多。

因此，主观概率的支持者制造了一些“补丁”:并不是每个人的主观性都是可靠的。概率应该是“理性人”对随机事件的信心。

“理性人”这个关键词——这个“人”应该总是逻辑严谨，从不犯错。因此，只要“你、我和他”都是“绝对理性的人”，那么概率对我们来说就会保持同样的速度和同样的逻辑。

然而，一个永远不会犯错的“绝对理性的人”所持的“观念”与“客观本质”有什么区别呢？如果这是真的，概率会不会变回不受外部视角影响的客观本质，并且是事件本身所固有的？那么，回到我们视频节目的“睡美人悖论”，对于它的两个突出的答案应该给出什么解释呢？什么是“绝对理性的人的答案”？

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